Der Kurs „Zahlensysteme & Bits“ ist ein interaktives Tutorial mit 17 Lektionen, das „Binär“ aus der Abstraktion in Schalter verwandelt, die man anfassen kann: Du gibst eine Zahl ein und die vier Schreibweisen binär, oktal, dezimal und hexadezimal ändern sich gemeinsam; du schaltest ein Bit ein oder aus und der Wert aktualisiert sich sofort; zwei Zahlen durchlaufen AND / OR / XOR oder eine Verschiebung und das Ergebnis erscheint Bit für Bit ausgerichtet; du gibst einen Bruch ein und siehst ihn in die drei Felder Vorzeichen, Exponent und Mantisse zerlegt – und siehst, welchem Dezimalbruch er in doppelter Genauigkeit exakt entspricht. Jede Lektion hat ein konkretes Ziel – eine Zahl umrechnen, 200 zusammenstellen, das Zweierkomplement von −5 schreiben, 5 << 3 ausrechnen – und die Prüfung antwortet sofort.

Der Kurs besteht aus vier Abschnitten: Zahlensysteme (binär ↔ dezimal, Zweierpotenzen, warum hexadezimal und oktal „Kurzschrift“ sind); vorzeichenbehaftete Zahlen (wie das Zweierkomplement die Subtraktion zur Addition macht und warum 127 + 1 durch Überlauf zu −128 wird); Bitoperationen (AND als Maske, OR zum Setzen, XOR zum Umdrehen, Verschieben zum Multiplizieren und Dividieren – und ihr direkter Einsatz in Linux-Rechtebits wie 755); Gleitkommazahlen (das Feldlayout nach IEEE 754 und der wahre Grund für 0.1 + 0.2 !== 0.3).

Etwa 45 Minuten bis zum Durcharbeiten. Für Einsteiger ins Programmieren, Entwickler in der Interviewvorbereitung und alle, die 0x1F, & 0xFF oder chmod 644 jedes Mal nachschlagen müssen; mathematische Vorkenntnisse sind nicht nötig, Addition genügt.

1. 01Ziel und Panel ansehenJede Lektion zeigt oben ihr Ziel; das Panel darunter wechselt mit der Lektion – das Panel „Werte“ hat ein Eingabefeld, Anzeigen in vier Basen und eine Reihe klickbarer Bit-Schalter mit Umschaltung zwischen vorzeichenbehafteter und vorzeichenloser Lesart; das Panel „Operationen“ nimmt zwei Operanden und einen Operator und zeigt das Ergebnis Bit für Bit ausgerichtet; das Panel „Rechte“ enthält neun rwx-Schalter und die Oktalanzeige; das Panel „Gleitkomma“ nimmt einen Bruch entgegen und zeigt die Feldzerlegung in 32 / 64 Bit samt exakter Dezimalentwicklung.
2. 02Bedienen und beobachtenEingabe ändern, Bit-Schalter klicken, Bitbreite umschalten – alle Anzeigen reagieren sofort. Beobachten gehört zum Lernen: Schalte 128 auf die vorzeichenbehaftete Lesart um und sieh zu, wie daraus −128 wird.
3. 03AntwortenIn den meisten Lektionen trägst du im Antwortfeld eine Dezimalzahl, eine Binärfolge, einen Hex- oder Oktalwert ein; die Lektionen mit Bit-Schaltern verlangen, dass du den Wert nur durch Klicken zusammenstellst; die letzte Gleitkomma-Lektion ist eine Multiple-Choice-Frage.
4. 04PrüfenDie Ergebnisleiste sagt sofort, ob es passt oder wo es hakt; bei Binärantworten sind führende Nullen erlaubt (außer in den Lektionen, die „genau 8 Bit“ verlangen), Hexadezimal ist unabhängig von der Schreibweise und darf 0x enthalten.
5. 05Tipps, Lösungen und Fortschritt„Tipp“ gibt einen Denkanstoß, „Lösung anzeigen“ zeigt eine Referenzlösung, die sich einsetzen lässt; der Fortschritt liegt im lokalen Browser, und mit ?lesson=n springst du direkt zu einer Lektion.

Lektion 9 „Zweierkomplement bilden“ verlangt das 8-Bit-Zweierkomplement von −5:

Lektion 16 „IEEE-754-Felder“ erhält 0,15625 und das Panel zeigt:

Betrag        5        0 0 0 0 0 1 0 1
Bitweise NOT            1 1 1 1 1 0 1 0
Plus eins               1 1 1 1 1 0 1 1      ← Lösung 11111011
Prüfung   vorzeichenlos 251, vorzeichenbehaftet 251 − 256 = −5   ✓

0.15625 = 0.00101₂ = 1.01₂ × 2⁻³
Vorzeichen  0
Exponent    −3 + 127 = 124 = 01111100      ← Lösung 124
Mantisse    01000000000000000000000 (implizite führende 1)
32 Bit      0 01111100 01000000000000000000000 = 0x3E200000

Lektionen 1–2: Stellenwerte und Umrechnung

Jedes Zahlensystem ist eine „Summe von Stellenwerten“. Dezimal 203 = 2×100 + 0×10 + 3×1; binär 1011 = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 11. Von rechts nach links sind die Stellenwerte 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 und so weiter. Binär → Dezimal heißt, die Stellenwerte der Einsen zu addieren; Dezimal → Binär heißt, wiederholt durch 2 zu teilen und die Reste zu notieren, oder von der größten Zweierpotenz abwärts gierig zu subtrahieren (die Bit-Schalter in Lektion 7 visualisieren genau das).

Lektion 3: Warum 1024

$2^{10} = 1024$, nur 2,4 % von 1000 entfernt – deshalb stand KB früher für 1024 Byte. Daraus entstand die Verwirrung, die bis heute anhält: Festplattenhersteller beschriften 1 GB mit $10^9$, Betriebssysteme rechnen mit $2^{30}$, und eine 500-GB-Platte zeigt 465 GiB. Die IEC definierte dafür KiB, MiB und GiB (Binärpräfixe); Linux und macOS haben sie weitgehend übernommen, Windows zeigt weiterhin GB, rechnet aber in GiB. Merkenswert: $2^8 = 256$, $2^{10} = 1024$, $2^{16} = 65536$, $2^{32} \approx 4.29 \times 10^9$.

Lektionen 4–6: Hexadezimal und Oktal

Binär ist zu lang, um bequem gelesen zu werden. Hexadezimal (0–9 plus A–F) stellt 4 Bit in einem Zeichen dar, ein Byte ist damit genau zwei Zeichen: 11111111 = FF, 10110110 = B6. Die Umrechnung läuft nicht über das Dezimalsystem – teile die Binärzahl von rechts in Vierergruppen und schlage jede Gruppe nach, genau das übt Lektion 5. Oktal fasst 3 Bit in einem Zeichen zusammen, historisch für Maschinen mit 12, 24 und 36 Bit Wortbreite; heute lebt es vor allem in Linux-Rechten (755) und den C-Escapes \012. Die Präfixe im Code: 0x für hexadezimal, 0o für oktal, 0b für binär.

Lektion 7: Ein Bit ist ein Schalter

Jede nicht negative ganze Zahl hat genau eine Binärdarstellung, deshalb kann eine 8-Bit-Zahl acht unabhängige Schalter (Flag-Bits) tragen: flags = READ | WRITE, if (flags & EXEC). CSS-font-weight, Unix-Dateirechte und Flag-Felder in Netzwerkprotokoll-Headern werden so gepackt. In Lektion 7 stellst du 200 nur mit den Schaltern zusammen – gierig von oben: 200 ≥ 128 also einschalten, 72 übrig ≥ 64 also einschalten, 8 übrig = 2³ also einschalten, ergibt 11001000.

Lektionen 8–9: Das Zweierkomplement

Wie speichert man negative Zahlen? Naheliegend wäre ein Vorzeichenbit, doch dann gäbe es „+0“ und „−0“ und der Addierer müsste Fälle unterscheiden. Das Zweierkomplement legt fest: Eine führende 1 bedeutet negativ, und der Wert entspricht dem vorzeichenlosen Wert minus $2^n$. In 8 Bit ist 11111111 gleich 255 und zugleich 255 − 256 = −1; 10000000 ist −128. So bildest du das Zweierkomplement einer negativen Zahl: Betrag hinschreiben, alle Bits invertieren, eins addieren – für −5 also 00000101 → 11111010 → 11111011.

Die Eleganz des Zweierkomplements: Die Addition muss die Vorzeichen nicht kennen: −5 + 5 = 11111011 + 00000101 = 1 00000000, und nach Verwerfen des Übertrags aus dem 9. Bit ist das Ergebnis exakt 0. Subtraktion wird damit zur „Addition des Komplements“, und die CPU braucht nur einen Addierer. Der Wertebereich des 8-Bit-Zweierkomplements reicht von −128 bis 127: eine negative Zahl mehr als positive, weil die 0 einen Platz auf der positiven Seite belegt.

Lektion 10: Überlauf

Die Bitbreite ist begrenzt, über das Ende hinaus geht es wieder von vorn los. In int8 ist 127 = 01111111; plus eins ergibt 10000000, im Zweierkomplement gelesen −128. Ganzzahlüberläufe in C, Java und Go passieren genauso still; JavaScripts gewöhnliches Number ist eine Gleitkommazahl und läuft nicht über, doch Int8Array, |0 und jede Bitoperation arbeiten auf 32-Bit-Zweierkomplement, und (2 ** 31) | 0 ergibt −2147483648. Das berühmte Jahr-2038-Problem ist ein 32-Bit-Vorzeichen-Sekundenzähler, der am 2038-01-19 03:14:07 UTC ins Negative überläuft; die Fehler „Punktestand wird negativ“ und „Münzen fallen auf null“ in alten Spielen sind dasselbe.

Lektionen 11–13: AND, OR, XOR

Die drei bitweisen Logikoperationen haben feste Einsatzgebiete:

Eine 1 an einer Stelle löschen ist AND kombiniert mit NOT: flags & ~FLAG. Die beiden Identitäten $x \oplus x = 0$ und $x \oplus 0 = x$ sind die Wurzel aller Anwendungen: a ^= b; b ^= a; a ^= b vertauscht zwei Zahlen, und das einzige Element, das in einem Array ungerade oft vorkommt, findest du, indem du alles XOR-verknüpfst.

Lektion 14: Verschieben

Um n nach links verschieben multipliziert mit $2^n$ (die unteren Bits werden mit 0 gefüllt), nach rechts verschieben teilt durch $2^n$ mit Abrunden. 5 << 3 = 101000 = 40. Verschieben ist die billigste Multiplikation und Division, häufiger aber dient es dem Packen kleiner Felder in eine Ganzzahl: (r << 16) | (g << 8) | b kombiniert drei Werte von 0–255 zu einer 24-Bit-Farbe, und (rgb >> 8) & 0xFF holt G wieder heraus. Achtung, es gibt zwei Rechtsverschiebungen: die arithmetische >> behält das Vorzeichenbit (negativ bleibt negativ), die logische >>> füllt mit 0. JavaScript verschiebt auf 32 Bit, deshalb ergibt 1 << 31 den Wert −2147483648 und 1 << 32 dasselbe wie 1 << 0 = 1, denn der Verschiebezähler wird modulo 32 genommen.

Lektion 15: chmod 755

Linux-Dateirechte sind neun Bits: je drei für Eigentümer, Gruppe und Andere, der Reihe nach Lesen r = 4, Schreiben w = 2, Ausführen x = 1. Die Summe jeder Dreiergruppe ist eine Oktalziffer: rwxr-xr-x = 7, 5, 5 → 755; rw-r--r-- = 644. Das ist die direkteste Alltagsanwendung von Stellenwerten und Masken: chmod u+x ist ein OR mit 0o100, chmod o-w ein AND mit ~0o002. Davor können noch die Bits 10–12 stehen (setuid, setgid, sticky), daher sieht man manchmal die vierstellige Form 4755.

Lektion 16: Die drei IEEE-754-Felder

Eine Gleitkommazahl ist wissenschaftliche Notation im Binärsystem:

Einfache Genauigkeit sind 32 Bit = 1 Vorzeichenbit s + 8 Exponentbits e (Bias 127) + 23 Mantissenbits f; doppelte Genauigkeit ist 1 + 11 (Bias 1023) + 52. Die Mantisse speichert nur den Nachkommateil – die führende 1 des ganzzahligen Teils ist implizit und spart ein Bit Genauigkeit. Der Exponent wird mit einem Bias gespeichert, damit der bitweise Größenvergleich von Gleitkommazahlen genauso monoton ist wie bei Ganzzahlen. Es gilt 0,15625 = $0.00101_2$ = $1.01_2 \times 2^{-3}$, das Exponentenfeld ist also −3 + 127 = 124 = 01111100, das Mantissenfeld 01 gefolgt von Nullen.

Einige Sonderfälle: Ein Exponent aus lauter Nullen bedeutet eine subnormale Zahl (für Werte extrem nahe bei 0 und für ±0); lauter Einsen mit Mantisse null ergeben ±∞; lauter Einsen mit Mantisse ungleich null sind NaN – deshalb ist 0/0 NaN, während 1/0 Infinity ergibt, und deshalb hat NaN viele Bitmuster und ist doch „sich selbst nicht gleich“.

Lektion 17: 0,1 + 0,2

Ein Binärbruch kann nur Summen negativer Zweierpotenzen exakt darstellen: 0,5, 0,25, 0,125 und so weiter. $\tfrac{1}{10}$ ist binär der periodische Bruch $0.0\overline{0011}$, die 52-Bit-Mantisse muss also runden. Die doppelt genaue 0,1 ist daher exakt

etwas größer als 0,1; 0,2 ebenfalls etwas größer; addiert und gerundet ergibt das 0,3000000000000000444…, während das Literal 0,3 dem nächstgelegenen Double 0,29999999999999998889… entspricht – zwei verschiedene Binärzahlen, also ist 0.1 + 0.2 === 0.3 falsch. Das ist kein JavaScript-Fehler; jede Sprache mit IEEE 754 (Python, Java, C, Go) verhält sich gleich.

Was zu tun ist, hängt vom Fall ab: Geld als ganzzahlige Cent oder mit einer Dezimalbibliothek (decimal, BigDecimal, Decimal.js); Vergleiche mit einer Toleranz Math.abs(a − b) < ε; Anzeige mit toFixed(2) erst im letzten Schritt; Zählen mit ganzen Zahlen – doppelte Genauigkeit stellt alle ganzen Zahlen bis $\pm 2^{53}$ exakt dar, darüber ist BigInt die richtige Wahl. Die letzte Multiple-Choice-Frage des Kurses fragt, ob die gespeicherte 0,1 größer oder kleiner als der wahre Wert ist; die Antwort ist „größer“ – die 55511… ab der 18. Stelle der exakten Entwicklung zeigen, warum.

Bitbreite

Das Werte-Panel unterstützt 8 / 16 / 32 Bit; 64-Bit-Ganzzahlen und Bitoperationen auf BigInt kommen nicht vor.

Gleitkomma

behandelt nur das Feldlayout von IEEE 754 binary32 / binary64 und die exakte Dezimalentwicklung; Rundungsmodi, die Performance subnormaler Zahlen, Math.fround, halbe Genauigkeit und bfloat16 bleiben außen vor.

Bitoperationssemantik

Verschiebungen werden nach JavaScript (32 Bit, vorzeichenbehaftet) erklärt; in C sind Linksverschiebungen negativer Werte und Verschiebungen über die Breite hinaus undefiniertes Verhalten und werden hier nicht vertieft.

Rechtebits

nur die neun Basisbits und die Oktaldarstellung; setuid / setgid / sticky und ACLs werden im Text erwähnt, das Panel bietet sie nicht.

Prüfung

Zahlantworten werden exakt verglichen; bei Binärantworten sind führende Nullen erlaubt (außer in Lektionen mit der Angabe „8 Bit“); Hexadezimal ist unabhängig von der Schreibweise und darf 0x enthalten.

Was es nicht macht

kein Massenumrechner (für echte Daten „Zahlensysteme umrechnen“ oder „chmod-Rechner“ verwenden), keine Fehleranalyse von Gleitkommazahlen, keine Ebene der CPU-Instruktionen.

• „1 KB = 1000 Byte“ oder „= 1024 Byte“: Beides ist in Gebrauch. Festplatten und Netzwerke rechnen mit 1000, Arbeitsspeicher und Betriebssysteme meist mit 1024 (IEC: KiB). Achte auf den Kontext oder auf ein „i“ im Namen.
• „Eine negative Zahl ist eine positive Zahl mit gesetztem höchstem Bit“: Das wäre das Vorzeichen-Betrags-Format, das praktisch keine Hardware so speichert. Im Zweierkomplement ist 10000000 gleich −128 und nicht −0, und −1 ist lauter Einsen.
• „>> ist einfach Division durch 2“: Bei negativen Zahlen wird abgerundet (Richtung −∞) statt zur Null hin: −5 >> 1 ergibt −3, Math.trunc(−5 / 2) ergibt −2.
• „Gleitkommazahlen sind ungenau“: Jede Gleitkommazahl entspricht exakt einem Binärbruch; ungenau ist die Umwandlung von Dezimal nach Binär. 0,5, 0,25 und 3,0 sind exakt.
• „Mit toFixed sind Geldbeträge gelöst“: toFixed rundet nur für die Anzeige; die Fehler der Zwischenschritte sind bereits angesammelt. Geld sollte von Anfang an als ganzzahlige Cent geführt werden.
• „JavaScript hat keine Ganzzahlen, also keinen Überlauf“: Bitoperationen, Int32Array und | 0 arbeiten auf 32-Bit-Zweierkomplement und laufen über; Number verliert oberhalb von $2^{53}$ die Ganzzahlgenauigkeit.

Der Kurs läuft vollständig lokal im Browser: Zahlensystem-Umrechnung, Bitoperationen, Gleitkomma-Feldzerlegung und exakte Entwicklung sind reine Funktionen auf der Seite und fragen keinen Server; der Fortschritt liegt im lokalen localStorage.

• IEEE, IEEE 754-2019, IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic – Feldlayout, Bias, Sonderwerte und Rundungsregeln von binary32 / binary64: https://standards.ieee.org/ieee/754/6210/(abgerufen am 2026-09-09)
• David Goldberg, What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, ACM Computing Surveys 23(1), 1991 – der Klassiker zu Rundungsfehlern, exakter Entwicklung und der Frage, warum 0,1 nicht exakt gespeichert wird: https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html(abgerufen am 2026-09-09)
• ECMA-262, ECMAScript Language Specification, The Number Type und die abstrakten Operationen ToInt32 / ToUint32 – die normative Grundlage dafür, dass JavaScript-Bitoperationen auf 32-Bit-Zweierkomplement laufen: https://tc39.es/ecma262/#sec-ecmascript-language-types-number-type(abgerufen am 2026-09-09)
• IEEE / The Open Group, POSIX.1-2024, chmod-Werkzeug – Definition von symbolischem und oktalem Modus: https://pubs.opengroup.org/onlinepubs/9799919799/utilities/chmod.html(abgerufen am 2026-09-09)
• IEC 80000-13:2008, Quantities and units — Part 13: Information science and technology – Definition der Binärpräfixe KiB / MiB / GiB: https://www.iso.org/standard/31898.html(abgerufen am 2026-09-09)
• Charles Petzold, Code: The Hidden Language of Computer Hardware and Software, 2. Aufl., Microsoft Press, 2022 – anschauliche Erklärung vom Schalter über den Addierer bis zum Zweierkomplement.