進制與位運算課是一門 17 關的交互式教程，把「二進制」從抽象概念變成手能摸到的開關：輸入一個數，二、八、十、十六進制四種寫法同步變化；點亮或熄滅某一位，數值立刻更新；兩個數做 AND / OR / XOR / 移位，結果逐位對齊顯示；輸入一個小數，看它被拆成符號、指數、尾數三個字段，以及它在雙精度裏精確等於哪個十進制小數。每一關一個具體目標——換算某個數、湊出 200、寫出 -5 的補碼、算出 5 << 3——判定器即時反饋。

課程分四段：進制換算（二 ↔ 十、2 的冪、十六進制與八進制為什麼是「速記」）；有符號數（補碼怎樣讓減法變加法、溢出為什麼讓 127 + 1 變成 -128）；位運算（AND 掩碼、OR 置位、XOR 翻轉、移位乘除，以及它們在 Linux 權限位 755 裏的直接應用）；浮點數（IEEE 754 的字段佈局，與 0.1 + 0.2 !== 0.3 的真正原因）。

約 45 分鐘學完。面向初學編程的人、準備面試的開發者、以及每次看到 0x1F、& 0xFF、chmod 644 都要查一遍的人；不需要數學基礎，會加法即可。

1. 01看目標與面板每關頂部是目標；下方面板隨關卡切換——「數值」面板有輸入框、四進制讀數與一排可點擊的位開關，可切換有符號 / 無符號解讀；「運算」面板給兩個操作數與運算符，逐位對齊顯示結果；「權限」面板是 9 個 rwx 開關與八進制讀數；「浮點」面板輸入小數，顯示 32 / 64 位字段拆解與精確十進制展開。
2. 02操作與觀察改輸入、點位開關、切換位寬，所有讀數實時聯動；觀察就是學習的一部分——例如把 128 切到有符號解讀，直接看到它變成 -128。
3. 03作答多數關卡在答案框填十進制數、二進制串、十六進制或八進制；「位開關」關卡要求你只用點擊把數值湊出來；浮點最後一關是選擇題。
4. 04判定結果條即時顯示通過或差在哪；二進制答案允許前導零（要求「恰好 8 位」的關卡除外），十六進制不區分大小寫、可帶 0x。
5. 05提示、答案與進度「提示」給思路，「看答案」顯示參考答案並可填入；進度存在本機瀏覽器，?lesson=n 可直達某關。

第 9 關「求補碼」要求寫出 -5 的 8 位補碼：

第 16 關「IEEE 754 字段」輸入 0.15625，面板顯示：

絕對值   5        0 0 0 0 0 1 0 1
按位取反          1 1 1 1 1 0 1 0
加一              1 1 1 1 1 0 1 1      ← 答案 11111011
驗證     無符號 251，有符號 251 − 256 = −5   ✓

0.15625 = 0.00101₂ = 1.01₂ × 2⁻³
符號  0
指數  −3 + 127 = 124 = 01111100      ← 答案 124
尾數  01000000000000000000000（隱含前導 1）
32 位 0 01111100 01000000000000000000000 = 0x3E200000

第 1–2 關：位權與換算

任何進制都是「位權求和」。十進制 203 = 2×100 + 0×10 + 3×1；二進制 1011 = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 11。從右往左位權依次是 1、2、4、8、16、32、64、128……二進制轉十進制就是把為 1 的位權加起來；十進制轉二進制則反覆除 2 記餘數，或者從大到小貪心減去 2 的冪（第 7 關的位開關就是這個過程的可視化）。

第 3 關：為什麼是 1024

$2^{10} = 1024$，與 1000 只差 2.4%，所以早期用 KB 表示 1024 字節。這造成了至今的混亂：硬盤廠商按 $10^9$ 標 1 GB，操作系統按 $2^{30}$ 算，500 GB 的盤顯示 465 GiB。IEC 為此定義了 KiB、MiB、GiB（二進制前綴），Linux 與 macOS 已逐步採用，Windows 仍顯示 GB 卻按 GiB 計算。記住幾個數：$2^8 = 256$、$2^{10} = 1024$、$2^{16} = 65536$、$2^{32} \approx 4.29 \times 10^9$。

第 4–6 關：十六進制與八進制

二進制太長，人讀不了。十六進制（0–9 加 A–F）用一個符號表示 4 位，一個字節恰好兩位：11111111 = FF，10110110 = B6。換算不需要經過十進制——把二進制從右往左每 4 位切一段、每段查表即可，第 5 關就練這個。八進制用一個符號表示 3 位，歷史上用於 12、24、36 位字長的機器，今天主要活在 Linux 權限（755）和 C 的 \012 轉義裏。程序裏的前綴：0x 十六進制、0o 八進制、0b 二進制。

第 7 關：位是開關

每個非負整數只有一種二進制寫法，所以一個 8 位數可以當 8 個互不干擾的開關（標誌位）用：flags = READ | WRITE、if (flags & EXEC)。CSS 的 font-weight、Unix 的文件權限、網絡協議頭裏的標誌字段都是這樣打包的。第 7 關要你只點開關湊出 200——從最高位貪心：200 ≥ 128 點亮，剩 72 ≥ 64 點亮，剩 8 = 2³ 點亮，得到 11001000。

第 8–9 關：補碼

負數怎麼存？直覺是拿一位當符號，但那樣會有「+0」和「−0」兩個零，加法電路也要分情況。補碼（two's complement）的規定是：最高位為 1 表示負數，數值等於無符號值減 $2^n$。8 位裏 11111111 是 255，也是 255 − 256 = −1；10000000 是 −128。求一個負數的補碼：寫出絕對值、按位取反、加一——−5 就是 00000101 → 11111010 → 11111011。

補碼的精妙之處在於加法不需要知道正負：−5 + 5 = 11111011 + 00000101 = 1 00000000，第 9 位進位丟棄後正好是 0。減法於是變成「加上補碼」，CPU 只需要一個加法器。8 位補碼的範圍是 −128 到 127：負數比正數多一個，因為 0 佔了正數一側的位置。

第 10 關：溢出

位寬有限，加過頭就繞回去。int8 裏 127 = 01111111，加一得 10000000，按補碼解讀是 −128。C、Java、Go 的整數溢出都是這樣靜默發生的；JavaScript 的普通 Number 是浮點數所以不會溢出，但 Int8Array、|0 與所有位運算都在 32 位補碼上進行，(2 ** 31) | 0 會得到 −2147483648。著名的 2038 年問題是 32 位有符號秒數在 2038-01-19 03:14:07 UTC 溢出為負；早年遊戲的「分數變負」「金幣歸零」也是同一回事。

第 11–13 關：AND、OR、XOR

三種按位邏輯運算各有固定用途：

「關閉」某位是 AND 與 NOT 的組合：flags & ~FLAG。XOR 的兩個恆等式 $x \oplus x = 0$、$x \oplus 0 = x$ 是它一切用途的根源：a ^= b; b ^= a; a ^= b 交換兩個數，找出數組裏唯一齣現奇數次的元素只需把所有數 XOR 起來。

第 14 關：移位

左移 n 位等於乘 $2^n$（低位補 0），右移 n 位等於除以 $2^n$ 向下取整。5 << 3 = 101000 = 40。移位是最便宜的乘除法，更常見的用途是把小字段打包進一個整數：(r << 16) | (g << 8) | b 把三個 0–255 拼成 24 位顏色值，反過來 (rgb >> 8) & 0xFF 取出 G。注意右移有兩種：算術右移 >> 保留符號位（負數仍是負數），邏輯右移 >>> 補 0。JavaScript 的移位在 32 位上進行，1 << 31 得到 −2147483648，1 << 32 等於 1 << 0 = 1，因為移位數按模 32 處理。

第 15 關：chmod 755

Linux 文件權限是 9 個位：所有者、組、其他人各 3 位，依次是讀 r = 4、寫 w = 2、執行 x = 1。每組三位求和就是一位八進制：rwxr-xr-x = 7、5、5 → 755；rw-r--r-- = 644。這是位權與掩碼在日常運維裏最直接的應用：chmod u+x 是 OR 上 0o100，chmod o-w 是 AND 上 ~0o002。前面還可能有第 10–12 位（setuid、setgid、sticky），所以你有時會見到四位數 4755。

第 16 關：IEEE 754 的三個字段

浮點數是二進制的科學計數法：

單精度 32 位 = 1 位符號 s + 8 位指數 e（偏移 127）+ 23 位尾數 f；雙精度 64 位 = 1 + 11（偏移 1023）+ 52。尾數只存小數部分，整數部分的 1 是隱含的，白賺一位精度。指數加偏移量存儲是為了讓浮點數按位比較大小時和整數一樣單調。0.15625 = $0.00101_2$ = $1.01_2 \times 2^{-3}$，指數字段是 −3 + 127 = 124 = 01111100，尾數字段是 01 後面補零。

幾個特殊編碼：指數全 0 是非規格化數（表示極接近 0 的值和 ±0）；指數全 1 且尾數全 0 是 ±∞；指數全 1 且尾數非 0 是 NaN——這就是為什麼 0/0 是 NaN 而 1/0 是 Infinity，也是為什麼 NaN 有很多種位模式卻都「不等於自己」。

第 17 關：0.1 + 0.2

二進制小數只能精確表示 2 的負冪之和：0.5、0.25、0.125……$\tfrac{1}{10}$ 在二進制裏是無限循環小數 $0.0\overline{0011}$，52 位尾數必須舍入。於是雙精度裏的 0.1 精確地等於

略大於 0.1；0.2 同樣略大；兩者相加再舍入得到 0.3000000000000000444…，而字面量 0.3 最近的雙精度值是 0.29999999999999998889…——兩個不同的二進制數，所以 0.1 + 0.2 === 0.3 為 false。這不是 JavaScript 的 bug，任何用 IEEE 754 的語言（Python、Java、C、Go）都一樣。

對策取決於場景：錢用整數「分」或十進制庫（decimal、BigDecimal、Decimal.js）；比較用誤差範圍 Math.abs(a − b) < ε；顯示用 toFixed(2) 只在最後一步取整；計數用整數，雙精度能精確表示 $\pm 2^{53}$ 以內的所有整數，超過就該用 BigInt。課程最後一關的選擇題「存的 0.1 比真值大還是小」，答案是「大」——看精確展開第 18 位以後的 55511… 就知道。

位寬

數值面板支持 8 / 16 / 32 位；不涉及 64 位整數與 BigInt 的位運算。

浮點

只講 IEEE 754 binary32 / binary64 的字段佈局與十進制精確展開；不講舍入模式、非規格化數的性能、Math.fround、半精度與 bfloat16。

位運算語義

以 JavaScript（32 位有符號）為準説明移位；C 語言中對負數左移與超寬移位是未定義行為，課程不展開。

權限位

只講 9 個基本位與八進制表示；setuid / setgid / sticky 與 ACL 只在正文提及，面板不提供。

判定方式

數值答案精確比對；二進制允許前導零（標明「8 位」的關卡除外）；十六進制不區分大小寫、可帶 0x。

不做什麼

不是批量換算工具（處理真實數據請用「進制轉換」「chmod 計算器」）、不做浮點誤差分析、不講 CPU 指令級實現。

• 「1 KB = 1000 字節」或「= 1024 字節」：兩種都在用。硬盤與網絡按 1000，內存與操作系統多按 1024（IEC 叫 KiB）。看上下文，或看有沒有 i。
• 「負數就是最高位變 1 的正數」：那是「原碼」，幾乎沒有硬件這樣存。補碼裏 10000000 是 −128 而不是 −0，−1 是全 1。
• 「>> 就是除以 2」：對負數是向下取整而不是向零取整：−5 >> 1 得 −3，Math.trunc(−5 / 2) 得 −2。
• 「浮點數不精確」：每個浮點數都精確等於某個二進制小數，不精確的是十進制 → 二進制的轉換。0.5、0.25、3.0 都是精確的。
• 「用 toFixed 就能解決金額問題」：toFixed 只是顯示取整，中間運算的誤差已經累積；金額從一開始就該用整數分。
• 「JavaScript 沒有整數所以沒有溢出」：位運算、Int32Array、| 0 都在 32 位補碼上運行，會溢出；Number 超過 $2^{53}$ 會丟失整數精度。

課程全部在瀏覽器本地運行：進制換算、位運算、浮點字段拆解與精確展開都是頁面內的純函數計算，不請求服務器；通關進度存在本機 localStorage。

• IEEE，IEEE 754-2019, IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic——binary32 / binary64 的字段佈局、偏移量、特殊值與舍入規則：https://standards.ieee.org/ieee/754/6210/（访问日期：2026-09-09）
• David Goldberg，What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic，ACM Computing Surveys 23(1), 1991——舍入誤差、精確展開與「為什麼 0.1 存不準」的經典論文：https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html（访问日期：2026-09-09）
• ECMA-262，ECMAScript Language Specification，The Number Type 與 ToInt32 / ToUint32 抽象操作——JavaScript 位運算在 32 位補碼上進行的規範依據：https://tc39.es/ecma262/#sec-ecmascript-language-types-number-type（访问日期：2026-09-09）
• IEEE / The Open Group，POSIX.1-2024，chmod 工具——符號模式與八進制模式的定義：https://pubs.opengroup.org/onlinepubs/9799919799/utilities/chmod.html（访问日期：2026-09-09）
• IEC 80000-13:2008，Quantities and units — Part 13: Information science and technology——KiB / MiB / GiB 二進制前綴的定義：https://www.iso.org/standard/31898.html（访问日期：2026-09-09）
• Charles Petzold，Code: The Hidden Language of Computer Hardware and Software, 2nd ed., Microsoft Press, 2022——從開關到加法器到補碼的通俗講解。