基数変換とビット演算講座は 17 レッスンの対話形式チュートリアルで、「2 進数」という抽象的な概念を手で触れるスイッチに変えます。数値を入力すると 2・8・10・16 進数の 4 つの表記が同時に変わり、あるビットを点灯・消灯すると値がすぐに更新されます。2 つの数で AND / OR / XOR / シフトを行うと結果がビットごとに桁をそろえて表示され、小数を入力すればそれが符号・指数・仮数の 3 フィールドに分解され、倍精度で正確に等しい10 進小数がどれかも分かります。各レッスンには具体的な目標があります——ある数を基数変換する、200 を組み立てる、-5 の 2 の補数を書く、5 << 3 を計算する——判定はその場で返ります。

講座は 4 つの段階に分かれます。基数変換（2 ↔ 10、2 のべき乗、16 進数と 8 進数がなぜ「速記」なのか）。符号付き整数（2 の補数がどうやって引き算を足し算に変えるか、オーバーフローでなぜ 127 + 1 が -128 になるのか）。ビット演算（AND によるマスク、OR によるビットのセット、XOR による反転、シフトによる乗除算、そしてそれらが Linux の権限ビット 755 でどう使われるか）。浮動小数点（IEEE 754 のフィールド配置と、0.1 + 0.2 !== 0.3 の本当の理由）。

学習時間は約 45 分。プログラミングを学び始めた人、面接対策中の開発者、そして 0x1F、& 0xFF、chmod 644 を見るたびに調べ直している人に向いています。数学の素養は不要で、足し算ができれば十分です。

1. 01目標とパネルを見る各レッスンの上部が目標です。下のパネルはレッスンごとに切り替わります。「数値」パネルには入力欄、4 進数の読み取り、クリックできるビットスイッチの列があり、符号あり / 符号なしの解釈を切り替えられます。「演算」パネルは 2 つのオペランドと演算子を受け取り、結果をビットごとにそろえて表示します。「権限」パネルは 9 個の rwx スイッチと 8 進数の読み取りです。「浮動小数点」パネルは小数を入力すると、32 / 64 ビットのフィールド分解と正確な 10 進展開を表示します。
2. 02操作して観察する入力を変える、ビットスイッチを押す、ビット幅を切り替える——すべての読み取り値が即座に連動します。観察そのものが学習です。たとえば 128 を符号ありの解釈に切り替えると、そのまま -128 になるのが見えます。
3. 03解答するほとんどのレッスンでは答えの欄に 10 進数、2 進数の文字列、16 進数、8 進数のいずれかを入力します。「ビットスイッチ」のレッスンはクリックだけで値を組み立てる必要があり、浮動小数点の最終レッスンは選択式です。
4. 04判定結果バーが合否、またはどこが違うかをその場で示します。2 進数の答えは先頭の 0 を許します（「ちょうど 8 ビット」を求めるレッスンを除く）。16 進数は大文字小文字を区別せず、0x を付けてもかまいません。
5. 05ヒント・答え・進捗「ヒント」は考え方を示し、「答えを見る」は参考解答を表示して入力欄へ入れられます。進捗はこのブラウザーに保存され、?lesson=n で特定のレッスンへ直接移動できます。

第 9 レッスン「2 の補数を求める」では、-5 の 8 ビットの 2 の補数を書きます。

第 16 レッスン「IEEE 754 のフィールド」で 0.15625 を入力すると、パネルは次のように表示します。

絶対値   5        0 0 0 0 0 1 0 1
ビット反転        1 1 1 1 1 0 1 0
+1                1 1 1 1 1 0 1 1      ← 答え 11111011
検算     符号なし 251、符号あり 251 − 256 = −5   ✓

0.15625 = 0.00101₂ = 1.01₂ × 2⁻³
符号  0
指数  −3 + 127 = 124 = 01111100      ← 答え 124
仮数  01000000000000000000000（先頭の 1 は暗黙）
32 ビット 0 01111100 01000000000000000000000 = 0x3E200000

第 1–2 レッスン: 位の重みと基数変換

どの基数も「位の重みの合計」です。10 進数の 203 = 2×100 + 0×10 + 3×1、2 進数の 1011 = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 11。右から左へ位の重みは 1、2、4、8、16、32、64、128……と続きます。2 進数から 10 進数へは 1 になっている位の重みを足すだけで、10 進数から 2 進数へは 2 で割り続けて余りを記録するか、大きい 2 のべき乗から順に貪欲に引いていきます（第 7 レッスンのビットスイッチはこの手順の可視化です）。

第 3 レッスン: なぜ 1024 なのか

$2^{10} = 1024$ は 1000 と 2.4% しか違いません。そこで初期には KB を 1024 バイトの意味で使いました。これが今も混乱を生んでいます。ハードディスクメーカーは $10^9$ を 1 GB として表記し、OS は $2^{30}$ で計算するため、500 GB のディスクは 465 GiB と表示されます。IEC はこのために KiB、MiB、GiB（2 進接頭辞）を定義し、Linux と macOS は順次採用しましたが、Windows は依然として GB と表示しながら GiB で計算しています。覚えておきたい数値は $2^8 = 256$、$2^{10} = 1024$、$2^{16} = 65536$、$2^{32} \approx 4.29 \times 10^9$ です。

第 4–6 レッスン: 16 進数と 8 進数

2 進数は長すぎて人間には読みにくい。16 進数（0–9 に A–F を加えたもの）は 1 文字で 4 ビットを表し、1 バイトはちょうど 2 文字になります。11111111 = FF、10110110 = B6。変換に 10 進数を経由する必要はありません。2 進数を右から 4 ビットずつ区切り、各区間を表で引くだけです（第 5 レッスンで練習します）。8 進数は 1 文字で 3 ビットを表し、歴史的には 12、24、36 ビット幅のマシンで使われました。現在は主に Linux の権限（755）と C の \012 エスケープの中に生きています。プログラム中の接頭辞は 0x が 16 進数、0o が 8 進数、0b が 2 進数です。

第 7 レッスン: ビットはスイッチ

0 以上の整数は 2 進表記が 1 通りしかないため、8 ビットの数は互いに干渉しない 8 個のスイッチ（フラグ）として使えます。flags = READ | WRITE、if (flags & EXEC) のようにです。CSS の font-weight、Unix のファイル権限、ネットワークプロトコルのヘッダーにあるフラグフィールドはどれもこの形で詰め込まれています。第 7 レッスンではスイッチをクリックするだけで 200 を作ります。最上位から貪欲に進み、200 ≥ 128 で点灯、残り 72 ≥ 64 で点灯、残り 8 = 2³ で点灯、結果は 11001000 です。

第 8–9 レッスン: 2 の補数

負の数はどう保存するのか。直感的には 1 ビットを符号に使いたくなりますが、それだと「+0」と「−0」の 2 つのゼロができ、加算回路も場合分けが必要になります。2 の補数（two's complement）の決まりは、最上位ビットが 1 なら負数で、値は符号なしの値から $2^n$ を引いたもの、というものです。8 ビットでは 11111111 は 255 であり、255 − 256 = −1 でもあります。10000000 は −128 です。負の数の 2 の補数は、絶対値を書いて、ビットを反転して、1 を足します。−5 なら 00000101 → 11111010 → 11111011 です。

2 の補数の妙味は、足し算が正負を知らなくてよい点にあります。−5 + 5 = 11111011 + 00000101 = 1 00000000 で、9 ビット目の桁上がりを捨てればちょうど 0 になります。引き算は「2 の補数を足す」ことに変わり、CPU は加算器ひとつで済みます。8 ビットの 2 の補数の範囲は −128 から 127 で、負数のほうが 1 つ多いのは、0 が正数側の位置を占めているためです。

第 10 レッスン: オーバーフロー

ビット幅には限りがあるので、足しすぎると回り込みます。int8 の 127 = 01111111 に 1 を足すと 10000000 になり、2 の補数として読むと −128 です。C、Java、Go の整数オーバーフローはこのように黙って起きます。JavaScript の通常の Number は浮動小数点なのでオーバーフローしませんが、Int8Array、|0、そしてすべてのビット演算は 32 ビットの 2 の補数上で行われ、(2 ** 31) | 0 は −2147483648 になります。有名な 2038 年問題は、32 ビット符号付き秒数が 2038-01-19 03:14:07 UTC に負へあふれる問題です。昔のゲームの「スコアが負になる」「コインが 0 に戻る」も同じ現象です。

第 11–13 レッスン: AND、OR、XOR

3 つのビット論理演算にはそれぞれ決まった用途があります。

あるビットを「消す」のは AND と NOT の組み合わせで flags & ~FLAG です。XOR の 2 つの恒等式 $x \oplus x = 0$、$x \oplus 0 = x$ がすべての用途の源です。a ^= b; b ^= a; a ^= b で 2 つの数を交換でき、配列の中で 1 回しか現れない要素を探すには全要素を XOR するだけで済みます。

第 14 レッスン: シフト

n ビットの左シフトは $2^n$ の掛け算（下位に 0 を補う）、n ビットの右シフトは $2^n$ の割り算で小数点以下を切り捨てたものです。5 << 3 = 101000 = 40。シフトは最も安い乗除算であり、より一般的な用途は小さなフィールドを 1 つの整数に詰め込むことです。(r << 16) | (g << 8) | b は 0–255 の 3 つを 24 ビットの色値にまとめ、逆に (rgb >> 8) & 0xFF で G を取り出します。右シフトには 2 種類ある点に注意してください。算術右シフト >> は符号ビットを保ち（負数は負のまま）、論理右シフト >>> は 0 を補います。JavaScript のシフトは 32 ビット上で行われ、1 << 31 は −2147483648、1 << 32 は 1 << 0 = 1 になります。シフト量が 32 の剰余で扱われるためです。

第 15 レッスン: chmod 755

Linux のファイル権限は 9 ビットです。所有者・グループ・その他ユーザーがそれぞれ 3 ビットを持ち、読み r = 4、書き w = 2、実行 x = 1 の順です。3 ビットずつの合計がそのまま 8 進数 1 桁になります。rwxr-xr-x = 7、5、5 → 755、rw-r--r-- = 644。これは位の重みとマスクが日常の運用にもっとも直接現れる例です。chmod u+x は 0o100 の OR、chmod o-w は ~0o002 の AND です。さらに前に第 10–12 ビット（setuid、setgid、sticky）が付くことがあり、4755 のような 4 桁表記を見ることもあります。

第 16 レッスン: IEEE 754 の 3 フィールド

浮動小数点数は 2 進数の科学表記法です。

単精度 32 ビット = 符号 1 ビット s + 指数 8 ビット e（バイアス 127）+ 仮数 23 ビット f。倍精度 64 ビット = 1 + 11（バイアス 1023）+ 52。仮数が保存するのは小数部分だけで、整数部分の 1 は暗黙なので、精度が 1 ビットおまけで付いてきます。指数にバイアスを足して保存するのは、浮動小数点数をビット列として比較したときに整数と同じように単調にするためです。0.15625 = $0.00101_2$ = $1.01_2 \times 2^{-3}$ で、指数フィールドは −3 + 127 = 124 = 01111100、仮数フィールドは 01 の後を 0 で埋めた形になります。

特殊な符号化がいくつかあります。指数がすべて 0 なら非正規化数（0 に極めて近い値と ±0 を表します）。指数がすべて 1 で仮数がすべて 0 なら ±∞。指数がすべて 1 で仮数が非 0 なら NaN です。だから 0/0 は NaN で 1/0 は Infinity になり、NaN には多くのビットパターンがあるのにどれも「自分自身と等しくない」のです。

第 17 レッスン: 0.1 + 0.2

2 進小数が正確に表せるのは 2 の負のべき乗の和だけです。0.5、0.25、0.125……。$\tfrac{1}{10}$ は 2 進数では無限循環小数 $0.0\overline{0011}$ になり、52 ビットの仮数では丸めが必要です。その結果、倍精度の 0.1 は正確に

であり、0.1 よりわずかに大きくなります。0.2 も同様にわずかに大きく、両者を足して丸めると 0.3000000000000000444… になります。一方、リテラル 0.3 に最も近い倍精度値は 0.29999999999999998889… です。2 つは別の 2 進数なので、0.1 + 0.2 === 0.3 は false になります。これは JavaScript の不具合ではなく、IEEE 754 を使うどの言語（Python、Java、C、Go）でも同じです。

対策は場面ごとに変わります。お金は整数の「分」か 10 進ライブラリ（decimal、BigDecimal、Decimal.js）。比較は誤差の範囲 Math.abs(a − b) < ε。表示は toFixed(2) で最後の 1 回だけ丸める。数え上げは整数で、倍精度は $\pm 2^{53}$ までの整数を正確に表せるので、それを超えるなら BigInt を使います。講座の最終レッスンの選択問題「保存される 0.1 は真の値より大きいか小さいか」の答えは「大きい」です。正確な展開の 18 桁目以降にある 55511… を見れば分かります。

ビット幅

数値パネルが対応するのは 8 / 16 / 32 ビットです。64 ビット整数と BigInt のビット演算は扱いません。

浮動小数点

IEEE 754 の binary32 / binary64 のフィールド配置と 10 進数の正確な展開のみを説明します。丸めモード、非正規化数の性能、Math.fround、半精度と bfloat16 は扱いません。

ビット演算の意味論

シフトは JavaScript（32 ビット符号付き）に準じて説明します。C 言語での負数の左シフトと幅を超えるシフトは未定義動作ですが、講座では掘り下げません。

権限ビット

基本の 9 ビットと 8 進表記のみを扱います。setuid / setgid / sticky と ACL は本文で触れるだけに留め、パネルには用意していません。

判定方法

数値の答えは正確に照合します。2 進数は先頭の 0 を許し（「8 ビット」と明記したレッスンを除く）、16 進数は大文字小文字を区別せず 0x を付けてもかまいません。

やらないこと

一括変換ツールではありません（実データを処理するなら「基数変換」「chmod 計算」を使ってください）。浮動小数点の誤差解析や CPU 命令レベルの実装の話もしません。

• 「1 KB = 1000 バイト」または「= 1024 バイト」: どちらも使われています。ハードディスクとネットワークは 1000、メモリと OS は 1024（IEC では KiB）が多めです。文脈か、i が付いているかで判断してください。
• 「負数は最上位ビットを 1 にした正数」: それは「符号付き絶対値」で、ほとんどどのハードウェアもそうは保存しません。2 の補数では 10000000 は −0 ではなく −128 で、−1 はすべてのビットが 1 です。
• 「>> は 2 で割ること」: 負数の場合は 0 方向ではなく負の無限大方向への切り捨てになります。−5 >> 1 は −3、Math.trunc(−5 / 2) は −2 です。
• 「浮動小数点は不正確」: 個々の浮動小数点数はどれも何らかの 2 進小数に正確に等しく、不正確なのは10 進数 → 2 進数の変換です。0.5、0.25、3.0 はどれも正確です。
• 「toFixed を使えば金額の問題は解決する」: toFixed は表示を丸めるだけなので、途中の演算誤差はすでに積み上がっています。金額は最初から整数の分で扱うべきです。
• 「JavaScript に整数がないからオーバーフローもしない」: ビット演算、Int32Array、| 0 はすべて 32 ビットの 2 の補数上で動くのでオーバーフローします。Number は $2^{53}$ を超えると整数の精度を失います。

講座はすべてブラウザー内で動作します。基数変換、ビット演算、浮動小数点フィールドの分解と正確な展開はすべてページ内の純粋な関数計算で、サーバーへ問い合わせません。クリア状況は端末の localStorage に保存されます。

• IEEE、IEEE 754-2019, IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic——binary32 / binary64 のフィールド配置、バイアス、特殊値、丸め規則: https://standards.ieee.org/ieee/754/6210/（参照日：2026-09-09）
• David Goldberg、What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic、ACM Computing Surveys 23(1), 1991——丸め誤差、正確な展開、「なぜ 0.1 は正確に保存できないのか」の古典的論文: https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html（参照日：2026-09-09）
• ECMA-262、ECMAScript Language Specification、The Number Type と ToInt32 / ToUint32 抽象操作——JavaScript のビット演算が 32 ビットの 2 の補数で行われる規範的な根拠: https://tc39.es/ecma262/#sec-ecmascript-language-types-number-type（参照日：2026-09-09）
• IEEE / The Open Group、POSIX.1-2024、chmod ツール——シンボルモードと 8 進モードの定義: https://pubs.opengroup.org/onlinepubs/9799919799/utilities/chmod.html（参照日：2026-09-09）
• IEC 80000-13:2008、Quantities and units — Part 13: Information science and technology——KiB / MiB / GiB の 2 進接頭辞の定義: https://www.iso.org/standard/31898.html（参照日：2026-09-09）
• Charles Petzold、Code: The Hidden Language of Computer Hardware and Software, 2nd ed., Microsoft Press, 2022——スイッチから加算器、2 の補数までの平易な解説。