进制与位运算课是一门 17 关的交互式教程，把「二进制」从抽象概念变成手能摸到的开关：输入一个数，二、八、十、十六进制四种写法同步变化；点亮或熄灭某一位，数值立刻更新；两个数做 AND / OR / XOR / 移位，结果逐位对齐显示；输入一个小数，看它被拆成符号、指数、尾数三个字段，以及它在双精度里精确等于哪个十进制小数。每一关一个具体目标——换算某个数、凑出 200、写出 -5 的补码、算出 5 << 3——判定器即时反馈。

课程分四段：进制换算（二 ↔ 十、2 的幂、十六进制与八进制为什么是「速记」）；有符号数（补码怎样让减法变加法、溢出为什么让 127 + 1 变成 -128）；位运算（AND 掩码、OR 置位、XOR 翻转、移位乘除，以及它们在 Linux 权限位 755 里的直接应用）；浮点数（IEEE 754 的字段布局，与 0.1 + 0.2 !== 0.3 的真正原因）。

约 45 分钟学完。面向初学编程的人、准备面试的开发者、以及每次看到 0x1F、& 0xFF、chmod 644 都要查一遍的人；不需要数学基础，会加法即可。

1. 01看目标与面板每关顶部是目标；下方面板随关卡切换——「数值」面板有输入框、四进制读数与一排可点击的位开关，可切换有符号 / 无符号解读；「运算」面板给两个操作数与运算符，逐位对齐显示结果；「权限」面板是 9 个 rwx 开关与八进制读数；「浮点」面板输入小数，显示 32 / 64 位字段拆解与精确十进制展开。
2. 02操作与观察改输入、点位开关、切换位宽，所有读数实时联动；观察就是学习的一部分——例如把 128 切到有符号解读，直接看到它变成 -128。
3. 03作答多数关卡在答案框填十进制数、二进制串、十六进制或八进制；「位开关」关卡要求你只用点击把数值凑出来；浮点最后一关是选择题。
4. 04判定结果条即时显示通过或差在哪；二进制答案允许前导零（要求「恰好 8 位」的关卡除外），十六进制不区分大小写、可带 0x。
5. 05提示、答案与进度「提示」给思路，「看答案」显示参考答案并可填入；进度存在本机浏览器，?lesson=n 可直达某关。

第 9 关「求补码」要求写出 -5 的 8 位补码：

第 16 关「IEEE 754 字段」输入 0.15625，面板显示：

绝对值   5        0 0 0 0 0 1 0 1
按位取反          1 1 1 1 1 0 1 0
加一              1 1 1 1 1 0 1 1      ← 答案 11111011
验证     无符号 251，有符号 251 − 256 = −5   ✓

0.15625 = 0.00101₂ = 1.01₂ × 2⁻³
符号  0
指数  −3 + 127 = 124 = 01111100      ← 答案 124
尾数  01000000000000000000000（隐含前导 1）
32 位 0 01111100 01000000000000000000000 = 0x3E200000

第 1–2 关：位权与换算

任何进制都是「位权求和」。十进制 203 = 2×100 + 0×10 + 3×1；二进制 1011 = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 11。从右往左位权依次是 1、2、4、8、16、32、64、128……二进制转十进制就是把为 1 的位权加起来；十进制转二进制则反复除 2 记余数，或者从大到小贪心减去 2 的幂（第 7 关的位开关就是这个过程的可视化）。

第 3 关：为什么是 1024

$2^{10} = 1024$，与 1000 只差 2.4%，所以早期用 KB 表示 1024 字节。这造成了至今的混乱：硬盘厂商按 $10^9$ 标 1 GB，操作系统按 $2^{30}$ 算，500 GB 的盘显示 465 GiB。IEC 为此定义了 KiB、MiB、GiB（二进制前缀），Linux 与 macOS 已逐步采用，Windows 仍显示 GB 却按 GiB 计算。记住几个数：$2^8 = 256$、$2^{10} = 1024$、$2^{16} = 65536$、$2^{32} \approx 4.29 \times 10^9$。

第 4–6 关：十六进制与八进制

二进制太长，人读不了。十六进制（0–9 加 A–F）用一个符号表示 4 位，一个字节恰好两位：11111111 = FF，10110110 = B6。换算不需要经过十进制——把二进制从右往左每 4 位切一段、每段查表即可，第 5 关就练这个。八进制用一个符号表示 3 位，历史上用于 12、24、36 位字长的机器，今天主要活在 Linux 权限（755）和 C 的 \012 转义里。程序里的前缀：0x 十六进制、0o 八进制、0b 二进制。

第 7 关：位是开关

每个非负整数只有一种二进制写法，所以一个 8 位数可以当 8 个互不干扰的开关（标志位）用：flags = READ | WRITE、if (flags & EXEC)。CSS 的 font-weight、Unix 的文件权限、网络协议头里的标志字段都是这样打包的。第 7 关要你只点开关凑出 200——从最高位贪心：200 ≥ 128 点亮，剩 72 ≥ 64 点亮，剩 8 = 2³ 点亮，得到 11001000。

第 8–9 关：补码

负数怎么存？直觉是拿一位当符号，但那样会有「+0」和「−0」两个零，加法电路也要分情况。补码（two's complement）的规定是：最高位为 1 表示负数，数值等于无符号值减 $2^n$。8 位里 11111111 是 255，也是 255 − 256 = −1；10000000 是 −128。求一个负数的补码：写出绝对值、按位取反、加一——−5 就是 00000101 → 11111010 → 11111011。

补码的精妙之处在于加法不需要知道正负：−5 + 5 = 11111011 + 00000101 = 1 00000000，第 9 位进位丢弃后正好是 0。减法于是变成「加上补码」，CPU 只需要一个加法器。8 位补码的范围是 −128 到 127：负数比正数多一个，因为 0 占了正数一侧的位置。

第 10 关：溢出

位宽有限，加过头就绕回去。int8 里 127 = 01111111，加一得 10000000，按补码解读是 −128。C、Java、Go 的整数溢出都是这样静默发生的；JavaScript 的普通 Number 是浮点数所以不会溢出，但 Int8Array、|0 与所有位运算都在 32 位补码上进行，(2 ** 31) | 0 会得到 −2147483648。著名的 2038 年问题是 32 位有符号秒数在 2038-01-19 03:14:07 UTC 溢出为负；早年游戏的「分数变负」「金币归零」也是同一回事。

第 11–13 关：AND、OR、XOR

三种按位逻辑运算各有固定用途：

「关闭」某位是 AND 与 NOT 的组合：flags & ~FLAG。XOR 的两个恒等式 $x \oplus x = 0$、$x \oplus 0 = x$ 是它一切用途的根源：a ^= b; b ^= a; a ^= b 交换两个数，找出数组里唯一出现奇数次的元素只需把所有数 XOR 起来。

第 14 关：移位

左移 n 位等于乘 $2^n$（低位补 0），右移 n 位等于除以 $2^n$ 向下取整。5 << 3 = 101000 = 40。移位是最便宜的乘除法，更常见的用途是把小字段打包进一个整数：(r << 16) | (g << 8) | b 把三个 0–255 拼成 24 位颜色值，反过来 (rgb >> 8) & 0xFF 取出 G。注意右移有两种：算术右移 >> 保留符号位（负数仍是负数），逻辑右移 >>> 补 0。JavaScript 的移位在 32 位上进行，1 << 31 得到 −2147483648，1 << 32 等于 1 << 0 = 1，因为移位数按模 32 处理。

第 15 关：chmod 755

Linux 文件权限是 9 个位：所有者、组、其他人各 3 位，依次是读 r = 4、写 w = 2、执行 x = 1。每组三位求和就是一位八进制：rwxr-xr-x = 7、5、5 → 755；rw-r--r-- = 644。这是位权与掩码在日常运维里最直接的应用：chmod u+x 是 OR 上 0o100，chmod o-w 是 AND 上 ~0o002。前面还可能有第 10–12 位（setuid、setgid、sticky），所以你有时会见到四位数 4755。

第 16 关：IEEE 754 的三个字段

浮点数是二进制的科学计数法：

单精度 32 位 = 1 位符号 s + 8 位指数 e（偏移 127）+ 23 位尾数 f；双精度 64 位 = 1 + 11（偏移 1023）+ 52。尾数只存小数部分，整数部分的 1 是隐含的，白赚一位精度。指数加偏移量存储是为了让浮点数按位比较大小时和整数一样单调。0.15625 = $0.00101_2$ = $1.01_2 \times 2^{-3}$，指数字段是 −3 + 127 = 124 = 01111100，尾数字段是 01 后面补零。

几个特殊编码：指数全 0 是非规格化数（表示极接近 0 的值和 ±0）；指数全 1 且尾数全 0 是 ±∞；指数全 1 且尾数非 0 是 NaN——这就是为什么 0/0 是 NaN 而 1/0 是 Infinity，也是为什么 NaN 有很多种位模式却都「不等于自己」。

第 17 关：0.1 + 0.2

二进制小数只能精确表示 2 的负幂之和：0.5、0.25、0.125……$\tfrac{1}{10}$ 在二进制里是无限循环小数 $0.0\overline{0011}$，52 位尾数必须舍入。于是双精度里的 0.1 精确地等于

略大于 0.1；0.2 同样略大；两者相加再舍入得到 0.3000000000000000444…，而字面量 0.3 最近的双精度值是 0.29999999999999998889…——两个不同的二进制数，所以 0.1 + 0.2 === 0.3 为 false。这不是 JavaScript 的 bug，任何用 IEEE 754 的语言（Python、Java、C、Go）都一样。

对策取决于场景：钱用整数「分」或十进制库（decimal、BigDecimal、Decimal.js）；比较用误差范围 Math.abs(a − b) < ε；显示用 toFixed(2) 只在最后一步取整；计数用整数，双精度能精确表示 $\pm 2^{53}$ 以内的所有整数，超过就该用 BigInt。课程最后一关的选择题「存的 0.1 比真值大还是小」，答案是「大」——看精确展开第 18 位以后的 55511… 就知道。

位宽

数值面板支持 8 / 16 / 32 位；不涉及 64 位整数与 BigInt 的位运算。

浮点

只讲 IEEE 754 binary32 / binary64 的字段布局与十进制精确展开；不讲舍入模式、非规格化数的性能、Math.fround、半精度与 bfloat16。

位运算语义

以 JavaScript（32 位有符号）为准说明移位；C 语言中对负数左移与超宽移位是未定义行为，课程不展开。

权限位

只讲 9 个基本位与八进制表示；setuid / setgid / sticky 与 ACL 只在正文提及，面板不提供。

判定方式

数值答案精确比对；二进制允许前导零（标明「8 位」的关卡除外）；十六进制不区分大小写、可带 0x。

不做什么

不是批量换算工具（处理真实数据请用「进制转换」「chmod 计算器」）、不做浮点误差分析、不讲 CPU 指令级实现。

• 「1 KB = 1000 字节」或「= 1024 字节」：两种都在用。硬盘与网络按 1000，内存与操作系统多按 1024（IEC 叫 KiB）。看上下文，或看有没有 i。
• 「负数就是最高位变 1 的正数」：那是「原码」，几乎没有硬件这样存。补码里 10000000 是 −128 而不是 −0，−1 是全 1。
• 「>> 就是除以 2」：对负数是向下取整而不是向零取整：−5 >> 1 得 −3，Math.trunc(−5 / 2) 得 −2。
• 「浮点数不精确」：每个浮点数都精确等于某个二进制小数，不精确的是十进制 → 二进制的转换。0.5、0.25、3.0 都是精确的。
• 「用 toFixed 就能解决金额问题」：toFixed 只是显示取整，中间运算的误差已经累积；金额从一开始就该用整数分。
• 「JavaScript 没有整数所以没有溢出」：位运算、Int32Array、| 0 都在 32 位补码上运行，会溢出；Number 超过 $2^{53}$ 会丢失整数精度。

课程全部在浏览器本地运行：进制换算、位运算、浮点字段拆解与精确展开都是页面内的纯函数计算，不请求服务器；通关进度存在本机 localStorage。

• IEEE，IEEE 754-2019, IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic——binary32 / binary64 的字段布局、偏移量、特殊值与舍入规则：https://standards.ieee.org/ieee/754/6210/（访问日期：2026-09-09）
• David Goldberg，What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic，ACM Computing Surveys 23(1), 1991——舍入误差、精确展开与「为什么 0.1 存不准」的经典论文：https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html（访问日期：2026-09-09）
• ECMA-262，ECMAScript Language Specification，The Number Type 与 ToInt32 / ToUint32 抽象操作——JavaScript 位运算在 32 位补码上进行的规范依据：https://tc39.es/ecma262/#sec-ecmascript-language-types-number-type（访问日期：2026-09-09）
• IEEE / The Open Group，POSIX.1-2024，chmod 工具——符号模式与八进制模式的定义：https://pubs.opengroup.org/onlinepubs/9799919799/utilities/chmod.html（访问日期：2026-09-09）
• IEC 80000-13:2008，Quantities and units — Part 13: Information science and technology——KiB / MiB / GiB 二进制前缀的定义：https://www.iso.org/standard/31898.html（访问日期：2026-09-09）
• Charles Petzold，Code: The Hidden Language of Computer Hardware and Software, 2nd ed., Microsoft Press, 2022——从开关到加法器到补码的通俗讲解。